这篇文章内容翻译自论文 Cracking the problem with 33,论文研究了方程 $x^3+y^3+z^3=k$ 在一些小的 $k$ 值的解,并首次将33写成了3个整数的立方和。完成中文可以查看项目 qiwihui/cracking-the-problem-with-33。截止到目前,100以内的自然数就剩下42还没有找到关于立方和的整数解了!

Answer to the Ultimate Question of Life, the Universe, and Everything. – 42

以下是论文正文翻译:


解决33问题

作者:ANDREW R. BOOKER

摘要 受到Tim Browning和Brady Haran的 Numberphile 视频"未解决的33问题"的启发, 我们研究了方程 $x^3+y^3+z^3=k$ 在一些小的 $k$ 值的解。 我们找到了 $k=33$ 的第一个已知解。

1. 简介

令 $k$ 为正整数,其中 $k \equiv ±4(\mod 9)$。 然后Heath-Brown [HB92] 推测 有无限多的三元组 $(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3$ 满足

$$k = x^3 + y^3 + z^3. \quad \text{(1)}$$

早在1954年就开始对(1)进行各种数值研究 [MW55];请参阅 [BPTYJ07],了解截至2000年的这些研究的历史。 自那时起进行的计算由于Elkies [Elk00] 而被算法所主导。我们所知道的最新内容是Huisman [Hui16] 的论文, 该论文确定了(1)的所有解,其中 $k \le 1000$ 且 $\max{|x|,|y|,|z|}\le 10^15$。 特别是,Huisman报告说除了13个 $k \le 1000$ 的值以外的所有解决方案都是已知的:

$$33, 42, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975. \quad \text{(2)}$$

Elkies的算法通过使用格基减少(lattice basis reduction)在Fermat曲线 $X^3+Y^3=1$ 附近寻找有理点来工作;它非常适合同时找到许多 $k$ 值的解。 在本文中,我们描述了一种在k值确定时更有效的不同方法。 它的优点是可以找到所有具有 最小 坐标界限的解,而不是Elkies算法中的最大坐标。 这总是产生搜索范围的非平凡的扩张(nontrivial expansion),因为除了可以单独考虑的有限多个例外之外,还有

$$\max {|x|,|y|,|z|} > \sqrt[3]{2} \min {|x|,|y|,|z|}$$

此外,根据经验,通常情况是其中一个变量比其他变量小得多,因此我们希望实际上增益更大。

我们的策略类似于一些早期的方法(特别参见 [HBLtR93][Bre95][KTS97][BPTYJ07]), 并且基于观察:$k-z^3=x^3+y^3$ 的任何解都具有 $x+y$ 作为一个因子。 相对于早期研究,我们的主要贡献是注意到,通过一些时间空间权衡,运行时间在高度边界内非常接近线性, 并且在现代64位计算机上实现时非常实用。

更详细地说,假设 $(x,y,z)$ 是(1)的解,并且不失一般性,假设 $|x| \ge |y| \ge |z|$。 然后我们有

$$k-z^{3}=x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-x y+y^{2})$$

如果 $k-z^3=0$ 则 $y=-x$,并且 $x$ 的每个值都产生一个解。 否则,设 $d=|x+y|=|x|+y \operatorname{sgn} x$, 我们看到 $d$ 可以除 $|k-z^3|$ 并且

$$\begin{aligned} \begin{aligned} \frac{\left|k-z^{3}\right|}{d} &=x^{2}-x y+y^{2}=x(2 x-(x+y))+y^{2} \ &=|x|(2|x|-d)+(d-|x|)^{2}=3 x^{2}-3 d|x|+d^{2} \end{aligned} \end{aligned}$$

得到

$${x, y}=\left{\frac{1}{2} \operatorname{sgn}\left(k-z^{3}\right)\left(d \pm \sqrt{\frac{4|k-z^{3}|-d^{3}}{3 d}}\right)\right}$$

因此,给定 $z$ 的候选值,通过遍历 $|k-z^3|$ 的所有除数, 有一个有效的程序来查找 $x$ 和 $y$ 的所有相应值。 这个基本算法在假设整数分解的时间复杂度的标准启发式(standard heuristics)下,已经能在 时间 $O(B^{1+\varepsilon})$ 内找到满足 $\min{|x|,|y|,|z|}\ge B$ 的所有解。 在下一节中,我们将解释如何避免因子分解并更有效地实现相同目的。

感谢 感谢Roger Heath-Brown提供了有用的意见和建议。

2. 方法

为了便于表示,我们假设 $k \equiv ±3(\mod 9)$;请注意,这适用于(2)中的所有 $k$。 由于上述基本算法对于寻找小解是合理的,因此我们将假设 $|z|>\sqrt{k}$。 此外,如果我们将(1)专门用于 $y=z$ 的解,那么我们得到Thue方程 $x^3+2y^3=k$,这是有效可解的。 使用 PARI/GP [The18] 中的Thue求解器,我们验证了(2)中的 $k$ 不存在这样的解。 因此,我们可以进一步假设 $y \ne z$。

由于 $|z|>\sqrt{k} \ge \sqrt[3]{k}$,我们有

$$\operatorname{sgn} z=-\operatorname{sgn}(k-z^{3})=-\operatorname{sgn}(x^{3}+y^{3})=-\operatorname{sgn} x.$$

同样,因为 $x^3 + z^3 = k-y^3$ 和 $|y|\ge |z|$, 我们有 $\operatorname{sgn} y=-\operatorname{sgn} x=\operatorname{sgn} z$。 将(1)的两边乘以 $-\operatorname{sgn} z$,我们得到

$$|x|^{3}-|y|^{3}-|z|^{3}=-k \operatorname{sgn} z \quad \text{(4)}$$

令 $\alpha=\sqrt[3]{2}-1$,并且 $d=|x+y|=|x|-|y|$。 如果 $d \ge \alpha |z|$ 则

$$\begin{aligned} \begin{aligned} -k \operatorname{sgn} z &=|x|^{3}-|y|^{3}-|z|^{3} \geq(|y|+\alpha|z|)^{3}-|y|^{3}-|z|^{3} \ &=3 \alpha(\alpha+2)(|y|-|z|) z^{2}+3 \alpha(|y|-|z|)^{2}|z| \ & \geq 3 \alpha(\alpha+2)|y-z| z^{2} \end{aligned} \end{aligned}$$

由于 $3 \alpha(\alpha+2)>1$, 这与我们的假设不相容,即 $y \ne z$ 和 $|z|>\sqrt{k}$。 因此我们必然有 $0<d<\alpha|z|$。

接下来,减少(4)模3并回想我们的假设 $k \equiv ±3(\mod 9)$,我们有

$$d=|x|-|y| \equiv|z| \quad(\mod 3).$$

设 $\epsilon\in{±1}$ 使得 $k \equiv 3 \epsilon(\mod 9)$。 然后,由于每个立方数都与 $0$ 或 $±1(mod 9)$ 相等, 我们必然有 $x \equiv y \equiv z \equiv \epsilon(\mod 3)$, 因此 $\operatorname{sgn} z=\epsilon(\frac{|z|}{3})=\epsilon(\frac{d}{3})$。 基于(3),当且仅当 $d | z^{3}-k$ 以及 $3d(4|z^{3}-k|-d^3) = 3d(4\epsilon(\frac{d}{3})(z^{3}-k)-d^{3})$ 是平方数时, 我们得到(1)的解。

总之,找到(1)的所有解并且满足 $|x| \ge |y| \ge |z|>\sqrt{k}$,$y \ne z$ 和 $|z|\le B$,对于每个与3互质的 $d\in\mathbb{Z}\cap(0,\alpha B)$, 解决以下系统就足够了:

$$\begin{aligned} \begin{aligned} &{\frac{d}{\sqrt[3]{2}-1}<|z| \le B, \quad \operatorname{sgn} z=\epsilon\left(\frac{d}{3}\right), \quad z^{3} \equiv k \quad(\mod d)} \ &{3 d\left(4 \epsilon\left(\frac{d}{3}\right)(z^{3}-k)-d^{3}\right)=\square} & \text{(5)} \end{aligned} \end{aligned}$$

我们解决这个问题的方法很简单:我们通过它们的主要因子分解递归地计算 $d$ 的值, 并应用中国剩余定理来将 $z^{3} \equiv k(\mod d)$ 的解减少到素数模幂的情况下, 其中标准算法可以适用。设 $r_{d}(k)=# \left{z(\mod d):z^{3} \equiv k(\mod d)\right}$ 表示 $k$ 模 $d$ 的立方根数。通过标准分析估计,由于 $k$ 不是立方数,我们有

$$\sum_{d \le \alpha B} r_{d}(k) \ll_{k} B$$

启发式地,计算对所有素数 $p\le \alpha B$ 的 $z^{3} \equiv k(\mod p)$ 的解 可以用 $[0, \alpha B]$ 上的整数在 $O(B)$ 算术运算来完成; 见例如 [[NZM91],§2.9,练习8]中描述的算法。假设这一点,可以看出, 使用Montgomery的批量反转技巧[[Mon87],§10.3.1],计算对所有正整数 $p\le \alpha B$ 的 $z^{3} \equiv k(\mod p)$ 的根的剩余工作可以再次用 $O(B)$ 算术运算完成。

因此,我们可以在线性时间内计算满足(5)的第一行的所有 $z$, 作为算术进展(arithmetic progressions)的并集。为了检测最后一行的解,有一个快速的方法来确定 $\Delta :=3d\left(4\epsilon(\frac{d}{3})(z^{3}-k)-d^{3}\right)$ 是一个平方数 至关重要。我们首先注意到对于固定 $d$,这种情况减少到在椭圆曲线上找到积分点; 特别是,令 $X=12d|z|$ 和 $Y=(6d^2|x-y|$,从(3)中我们看到(X,Y)位于Mordell曲线上

$$Y^{2}=X^{3}-2(6 d)^{3}\left(d^{3}+4 \epsilon\left(\frac{d}{3}\right) k\right). \quad \text{(6)}$$

因此,对于固定 $d$,存在至多有限多个解,并且它们可以被有效地约束。 对于 $d$ 的一些小值,找到(6)上的所有积分点并检查是否产生任何满足(1)的解是切实可行的。 例如,使用Magma[[BCFS18],§128.2.8]中的积分点函数(functionality), 我们验证了如(2)中的 $k$ 和 $d \le 40$ 情况下没有解, 除了 $(k, d)\in{(579,29),(579,34),(975,22)}$。

接下来我们自然注意到一些同余和可分性约束:

引理 设 $z$ 为(5)的解,设 $p$ 为素数, 设 $s=ord_p d$,$t=ord_p(z^3-k)$。则

(i) $z \equiv \frac{4}{3} k\left(2-d^{2}\right)+9(k+d)(\mod 18)$; (ii) 如果 $p \equiv 2 (\mod 3)$ 则 $t \le 3s$; (iii) 如果 $t \le 3s$ 则 $s \equiv t (\mod 2)$; (iv) 如果 $ord_p k \in {1,2}$ 则 $s \in {0,ord_p k}$。

证明 令 $\Delta=3d\left(4\epsilon(\frac{d}{3})(z^3-k)-d^3\right)$, 令 $\delta=(\frac{d}{3})$,我们有 $|z| \equiv d \equiv \delta(\mod 3)$, 观察到 $(\delta+3 n)^{3} \equiv \delta+9 n(\mod 27)$,模27,我们有

$$\begin{aligned} \begin{aligned} \frac{\Delta}{3 d} &=4 \epsilon \delta\left(z^{3}-k\right)-d^{3}=4|z|^{3}-d^{3}-4 \epsilon \delta k \ & \equiv 4[\delta+3(|z|-\delta)]-[\delta+3(d-\delta)]-4 \epsilon \delta k=3(4|z|-d)-\delta[18+4(\epsilon k-3)] \ & \equiv 3(4|z|-d)-d[18+4(\epsilon k-3)]=12|z|-9 d-4 \epsilon d k \ & \equiv 3|z|-4 \epsilon d k \end{aligned} \end{aligned}$$

这消失了模9,所以为了使 $\Delta$ 成为平方数,它也必须消除mod 27。 于是

$$z=\epsilon \delta|z| \equiv \frac{4 \delta d k}{3} \equiv \frac{4(2-d^{2}) k}{3} \quad(\mod 9)$$

减少(1)模2我们得到 $z \equiv k+d(\mod 2)$,这得到(i)。

接下来设 $u=p^{-s} d$ 和 $v=p^{-t} \epsilon \delta(z^{3}-k)$,这样就有

$$\Delta=3\left(4 p^{s+t} u v-p^{4 s} u^{4}\right)$$

如果 $3s<t$ 则 $p^{-4 s} \Delta \equiv-3 u^{4}(\mod 4 p)$, 但是当 $p \equiv 2(\mod 3)$ 时这是不可能的,因为 $-3$ 不是 $4p$ 的平方模。 因此,在这种情况下我们必须 $t<3s$。

接下来假设 $t<3s$。 我们考虑以下情况,涵盖所有可能性:

  • 若 $p = 3$ 则 $s = t = 0$,那么 $s \equiv t(\bmod 2)$。
  • 若 $p \ne 3$ 且 $3s > t+2 \operatorname{ord}{p} 2$, 则 $\operatorname{ord}{p} \Delta=s+t+2 \operatorname{ord}_{p} 2$,那么 $s \equiv t(\mod 2)$。
  • 若 $3s\in{t, t+2}$ 则 $s \equiv t(\bmod 2)$。
  • 如果 $p=2$ 且 $3s = t + 1$ 则 $2^{-4 s} \Delta=3(2 u v-u^{4}) \equiv 3(\bmod 4)$,这是不可能的。

因此,在任何情况我们得出结论 $s \equiv t(\mod 2)$。

最后,假设 $p|k$ 和 $p \not | 3k$。如果 $s=0$ 则无需证明的,所以假设不然。 由于 $d | z^{3}-k$,我们必须有 $d | k$,因为

$$0 < s \le t=\operatorname{ord}{p}(z^{3}-k)=\operatorname{ord}{p} k<3 s$$

通过部分(iii)得出 $s \equiv \operatorname{ord}{p} k(\mod 2)$, 因此 $s=\operatorname{ord}{p} k$。

因此,一旦 $z(\mod d)$ 的残差类(residue class)固定, 则其残差模 $lcm(d,18)$ 是确定的。还要注意,条件(ii)和(iii)对于测试 $p=2$ 是有效的。

然而,即使有这些优化,也有 $\ll B\log B$ 对 $d, z$ 满足(5)的第一行和引理的结论(i)和(iv)。 因此,为了实现比 $O(B\log B)$ 更好的运行时间,需要从一开始就消除一些 $z$ 值。 我们通过标准的时间空间交换来实现这一目标。确切地说,设置 $P=3(\log \log B)(\log \log \log B)$, 并且让 $M=\prod_{5 \le p \le P} p$ 是区间 $[5, P]$ 之间的素数的乘积。 根据素数定理,我们得到 $\log M=(1+o(1)) P$。如果 $\Delta$ 是平方数, 那么对于任意素数 $p|M$ 我们有

$$\left(\frac{\Delta}{p}\right)=\left(\frac{3 d}{p}\right)\left(\frac{|z|^{3}-c}{p}\right) \in{0,1} \quad \text{(7)}$$

其中 $c \equiv \epsilon\left(\frac{d}{3}\right) k+\frac{d^{3}}{4}$。 当 $\operatorname{lcm}(d, 18) \le \alpha B / M$ 时, 我们首先为每个残差类 $|z|(\bmod M)$ 计算该函数, 并且仅选择对于每个 $p|M$ 满足(7)的那些残基。 由Hasse约束,允许的残差的数量最多为

$$\frac{M}{2^{\omega(M /(M, d))}} \prod_{p | \frac{M}{(M, d)}}\left(1+O\left(\frac{1}{\sqrt{p}}\right)\right)=\frac{M}{2^{\omega(M /(M, d))}} e^{O(\sqrt{P} / \log P)}$$

因此,要考虑的 $z$ 值的总数最多为

$$\begin{aligned} \begin{array}{l}{ \sum_{\operatorname{lcm}(d, 18) \le \frac{\alpha B}{M}} r_{d}(k)\left[M+\frac{e^{O(\sqrt{P} / \log P)}}{2^{\omega(M /(M, d))}} \frac{\alpha B}{d}\right] +\sum_{d \le \alpha B, {lcm}(d, 18) \le \frac{\alpha B}{M}} \frac{r_{d}(k) \alpha B}{d}} \ {\ll_{k} B \log M+\frac{e^{O(\sqrt{P} / \log P)}}{2^{\omega(M)}} \sum_{g | M} \frac{2^{\omega(g)} r_{g}(k)}{g} \sum_{d^{\prime} \le \frac{\alpha B}{9 g M}} \frac{r_{d^{\prime}}(k) \alpha B}{d^{\prime}}} \ {\ll_{k} B \log M+B \log B \frac{e^{O(\sqrt{P} / \log P)}}{2^{\omega(M)}} \prod_{p | M}\left(1+\frac{2 r_{p}(k)}{p}\right)} \ {\ll B P+\frac{B \log B}{2^{(1+o(1)) P / \log P}} \ll B(\log \log B)(\log \log \log B) }\end{array} \end{aligned}$$

对于没有以这种方式消除的 $z$,我们遵循类似的策略, 其中一些其他辅助模 $M^{\prime}$ 由较大的素数组成,以加速平方测试。 我们预先计算模为 $M^{\prime}$ 的立方数表和Legendre符号模 $p|M^{\prime}$, 因此将测试(7)简化为了表查找。只有当所有这些测试都通过时, 我们才能在多精度算术中计算 $\Delta$ 并应用一般的平方检验,这种情况对于一小部分候选值来说都是如此。 事实上,我们期望Legendre测试的数量平均有限,所以总的来说, 找到所有解决方案的 $|z| \le B$ 应该要求不超过 $O_k(B(\log \log B)(\log \log \log B))$ 次表查找和对 $[0, B]$ 中整数的算术运算。

因此,当 $B$ 符合机器字大小时,我们预计运行时间几乎是线性的,这就是我们在实践中观察到的 $B<2^{64}$。

3. 实现

我们在C中实现了上述算法,其中有一些内联汇编程序来源于由Ben Buhrow [Buh19] 编写的Montgomery算法 [Mon85], 以及Kim Walisch的用于枚举素数的 primesieve[Wal19]

该算法自然地在具有超过 $\sqrt{\alpha B}$ 的素因子和 具有 $\sqrt{\alpha B}$ -平滑的素数的 $d$ 的值之间分配。 前一组 $d$ 消耗超过运行时间的三分之二,但更容易并行化。 我们在布里斯托大学高级计算研究中心的大规模并行集群Bluecrystal Phase 3上运行了这一部分。 对于平滑的 $d$,我们使用了一个单独的32核和64核节点的小集群。

我们搜索了满足 $k \in {33,42}$ 和 $\min{|x|, |y|, |z|} \le 10^16$ 的(1)的解,找到了以下结果:

$$33 = 8 866 128 975 287 528^3 +(-8 778 405 442 862 239)^3 +(-2 736 111 468 807 040)^3$$

总计算在三个星期的实际时间中大约使用了15个核年。

参考文献

(略)

School of Mathematics, University of Bristol, University Walk, Bristol, BS8 1TW, United Kingdom

E-mail address: andrew.booker@bristol.ac.uk


博客参考: